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{{ArtBy|autore=Gianni Frisardi}}

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Pensiamo che le grandezze fondamentali dei ''Quaternioni'', vale a dire <math>(i,j,k)</math>si riferiscano a tre assi mutuamente perpendicolari (destrosi) in un comune spazio Euclideo tridimensionale. Ricordiamo che la quantità nell’ordinaria teoria dei numeri complessi può essere interpretata in termini dell’operazione " ''moltiplicare per'' " che, nella sua azione nel piano complesso <math>\C</math>, significa "ruotare di un angolo retto (90°)  intorno all’origine, in senso positivo". Potremmo immaginare di interpretare il Q''uaternione''  nella stessa maniera, ma adesso come una rotazione in 3 dimensioni, in senso positivo (cioè destrosa) attorno all’asse <math>i</math>così il piano <math>i,k</math> svolge il ruolo del piano complesso. Analogamente '''''j''''' rappresenterebbe una rotazione in senso positivo attorno all’asse <math>j</math> e <math>k</math>una rotazione attorno all’asse <math>k</math>.

Pensiamo che le grandezze fondamentali dei ''Quaternioni'', vale a dire <math>(i,j,k)</math>si riferiscano a tre assi mutuamente perpendicolari (destrosi) in un comune spazio Euclideo tridimensionale. Ricordiamo che la quantità nell’ordinaria teoria dei numeri complessi può essere interpretata in termini dell’operazione " ''moltiplicare per'' " che, nella sua azione nel piano complesso <math>\C</math>, significa "ruotare di un angolo retto (90°)  intorno all’origine, in senso positivo". Potremmo immaginare di interpretare il Q''uaternione''  nella stessa maniera, ma adesso come una rotazione in 3 dimensioni, in senso positivo (cioè destrosa) attorno all’asse <math>i</math>così il piano <math>i,k</math> svolge il ruolo del piano complesso. Analogamente '''''j''''' rappresenterebbe una rotazione in senso positivo attorno all’asse <math>j</math> e <math>k</math>una rotazione attorno all’asse <math>k</math>.

Tuttavia, se queste rotazioni fossero davvero rotazioni di un angolo retto, come nel caso dei numeri Complessi <math>\C</math>, le relazioni tra i prodotti non funzionerebbero: infatti, se alla rotazione <math>i</math> facessimo seguire una rotazione <math>j</math> non otterremmo (neppure come multipli) la rotazione <math>k</math>.[[File:Quaternioni1.jpg|thumb|'''Figura 1:''' A) Configurazione originale del libro sul tavolo; B) Rotazione del libro di 90° sull'asse '''<math>i</math>'''; C) Rotazione ulteriore di 90° sull'asse '''<math>j</math>'''|link=http://it.masticationpedia.org/index.php/File:Quaternioni1.jpg]]E’ molto facile verificarlo nella pratica prendendo un comune oggetto e farlo ruotare. Suggerisco di prendere un libro: ponetelo piatto su una scrivania davanti a voi come volesse iniziare a leggerlo. Immaginate che l’asse <math>k</math>sia diretto verticalmente verso l’alto a partire dal centro del libro, mentre l’asse <math>i</math> è diretto verso destra e l’asse <math>j</math>è diretto in direzione opposta a voi, entrambi a partire dal centro del libro. Se ruotiamo il libro di un angolo retto (90° o <math>\tfrac{\pi}{2}</math> in senso destroso attorno a <math>i</math>poi lo ruotiamo di 90° o <math>\tfrac{\pi}{2}</math> in senso destroso attorno all’asse <math>j</math>si ritroverà in una configurazione  (con il dorso verso l’alto) che non può essere riportata al suo stato originale da nessuna singola rotazione attorno a <math>k</math>.(Figura 1)

Tuttavia, se queste rotazioni fossero davvero rotazioni di un angolo retto, come nel caso dei numeri Complessi <math>\C</math>, le relazioni tra i prodotti non funzionerebbero: infatti, se alla rotazione <math>i</math> facessimo seguire una rotazione <math>j</math> non otterremmo (neppure come multipli) la rotazione <math>k</math>.[[File:Quaternione_10_invertita.jpg|thumb|'''Figura 1:''' A) Configurazione originale del libro sul tavolo; B) Rotazione del libro di 90° sull'asse '''<math>i</math>'''; C) Rotazione ulteriore di 90° sull'asse '''<math>j</math>'''|link=http://it.masticationpedia.org/index.php/File:Quaternione_10_invertita.jpg]]E’ molto facile verificarlo nella pratica prendendo un comune oggetto e farlo ruotare. Suggerisco di prendere un libro: ponetelo piatto su una scrivania davanti a voi come volesse iniziare a leggerlo. Immaginate che l’asse <math>k</math>sia diretto verticalmente verso l’alto a partire dal centro del libro, mentre l’asse <math>i</math> è diretto verso destra e l’asse <math>j</math>è diretto in direzione opposta a voi, entrambi a partire dal centro del libro. Se ruotiamo il libro di un angolo retto (90° o <math>\tfrac{\pi}{2}</math> in senso destroso attorno a <math>i</math>poi lo ruotiamo di 90° o <math>\tfrac{\pi}{2}</math> in senso destroso attorno all’asse <math>j</math>si ritroverà in una configurazione  (con il dorso verso l’alto) che non può essere riportata al suo stato originale da nessuna singola rotazione attorno a <math>k</math>.(Figura 1)

Quello che dobbiamo fare affinchè le cose funzionino è di ruotare di due angoli retti (in altre parole di 180° o <math>\pi</math>). Questa sembra una cosa strana da fare, poiché non è certamente in analogia col modo con cui abbiamo interpretato l’azione del numero complesso '''''.''''' (figura 2)Sembrerebbe che il guaio principale sia quello che, se applichiamo due volte questa operazione attorno al medesimo asse, otteniamo una rotazione di 360° o <math>2\pi</math>, che riporta semplicemente l’oggetto (il libro) nella sua posizione originale rappresentando apparentemente  '''''<math>i^2=1</math>'''''Invece di '''''<math>i^2=-1</math>'''''.

Quello che dobbiamo fare affinchè le cose funzionino è di ruotare di due angoli retti (in altre parole di 180° o <math>\pi</math>). Questa sembra una cosa strana da fare, poiché non è certamente in analogia col modo con cui abbiamo interpretato l’azione del numero complesso '''''.''''' (figura 2)Sembrerebbe che il guaio principale sia quello che, se applichiamo due volte questa operazione attorno al medesimo asse, otteniamo una rotazione di 360° o <math>2\pi</math>, che riporta semplicemente l’oggetto (il libro) nella sua posizione originale rappresentando apparentemente  '''''<math>i^2=1</math>'''''Invece di '''''<math>i^2=-1</math>'''''.

=Conclusioni=

=Conclusioni=

[[File:Crossbite.jpg|left|thumb]]

[[File:Occlusal_Centric_view_in_open_and_cross_bite_patient.jpg|left|thumb]]

[[File:Chirurgia Ortognatica.jpg|thumb]]

[[File:Chirurgia Ortognatica.jpg|thumb]]

Spero che i colleghi si siano convinti che non può essere condiviso un concetto di "Occlusione Ideale" perché questo significherebbe ridurre la variabilità intrinseca dei Sistemi Organici ad un fenotipo omogeneo determinando uno smoothing del "Comporatmento Emergente" tipico dei Sistemi Complessi.

Spero che i colleghi si siano convinti che non può essere condiviso un concetto di "Occlusione Ideale" perché questo significherebbe ridurre la variabilità intrinseca dei Sistemi Organici ad un fenotipo omogeneo determinando uno smoothing del "Comporatmento Emergente" tipico dei Sistemi Complessi.